Elimina più voci con AJAX

il tuo jquery sarebbe qualcosa del genere.

$("#Submit1").click(function () {

            var arr = new Array();


            $("input:checked").each(function () {

                arr.push($(this).attr("id"));

            }); //each

            $.ajax({
             type: "POST",
       url: "core/actions/delete_multiple.php",
       data: arr ,//pass the array to the ajax call
       cache: false,

       success: function()
             {   }
       });//ajax

            }); //each


        }); //click

poiché la funzione PHP otterrà un oggetto JSON. dovrai eseguire una decodifica JSON per ge l'array.... vedi decodifica JSON ... usa questo array per creare la tua query come..

   delete from SalesLT.Customer
where CustomerID in (1,2,3,4);