Ricerca nel database MySQL con PHP, AJAX e jQuery

Il tuo codice Javascript non è corretto, le funzioni evento che hai aggiunto all'interno della funzione makeAjaxRequest e quindi non è mai stato chiamato. Dovrebbe essere come

<script type="text/javascript">
$(document).ready(function(){
    function makeAjaxRequest() {
        $.ajax({
            url: 'search_execute.php',
            type: 'get',
            datatype: 'html',
            data: {search: $('#searchbox').val()},
            success: function(response) {
                    alert("Success!");
            }, 
            error : function() {
                    alert("Something went wrong!");
            }
        });
    }

    $('#searchbutton').click(function(){
            makeAjaxRequest();
    });

    $('form').submit(function(e){
            e.preventDefault();
            makeAjaxRequest();
    });
});