Campo di aggiornamento MySQL basato sul valore minimo di un altro campo quando raggruppato per un terzo

Puoi farlo calcolando il min() e usando un join per eseguire il filtraggio:

update t join
       (select date, min(value) as minvalue
        from t
        group by date
       ) tmin
       on t.date = tmin.date and t.value = tmin.minvalue
    set tag = 1;