log_date dovrebbe essere del tipo di dati DateTime. È molto più semplice utilizzare la funzione MySQL DATE. Alcuni esempi
SELECT * FROM log_table
WHERE DATE(log_date) < '2013-05-05'
SELECT * FROM log_table
WHERE DATE(log_date) > '2013-05-05'
SELECT * FROM log_table
WHERE DATE(log_date) BETWEEN '2013-04-05' AND '2013-05-05'
SELECT * FROM log_table
WHERE DATE(log_date) BETWEEN DATE(CURRENT_DATE() - INTERVAL 2 WEEK) AND
DATE(CURRENT_DATE() + INTERVAL 4 DAY)