Aggiorna una tabella MySQL con le classifiche dei record all'interno dei gruppi

update winners
set rank = (
    select count(score) + 1
    from winners w2
    where w2.category_id = winners.category_id and w2.score > winners.score
)

count(*) valuterà a zero anche quando nessuna riga corrisponde alla condizione, ovvero la prima posizione. Se volevi un rango denso potresti farlo:

update winners
set rank = (
    select count(distinct score) + 1
    from winners w2
    where w2.category_id = winners.category_id and w2.score > winners.score
)

EDIT:Secondo il tuo commento ho trovato una query che funziona. (Funziona su SQL Server e non ho familiarità con le stranezze di MySQL.) http:// sqlfiddle.com/#!9/1159f/1

update winners
inner join (
    select w.id, w.category_id, count(w2.score) + 1 rank
    from winners w left outer join winners w2
        on w2.category_id = w.category_id and w2.score > w.score
    group by w.id
) r
    on r.id = winners.id
set winners.rank = r.rank