Nessun driver adatto trovato per 'jdbc:mysql://localhost:3306/mysql

In questo caso particolare (supponendo che Class#forName() non ha generato un'eccezione; il tuo codice sta cioè continuando a funzionare invece di lanciare l'eccezione), questa SQLException significa che Driver#acceptsURL() ha restituito false per uno qualsiasi dei driver caricati.

E in effetti, il tuo URL JDBC è sbagliato:

String url = "'jdbc:mysql://localhost:3306/mysql";

Rimuovi la virgoletta singola:

String url = "jdbc:mysql://localhost:3306/mysql";

Vedi anche:

• Mini tutorial sulla connettività MySQL + JDBC